Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=1，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，D为BC的中点．
（I）求证：平面ACC₁A₁⊥平面BCC₁B；
（II）求直线DA₁与平面BCC₁B₁所成角的大小；
（III）求二面角A-DC₁-C的大小．

Answer

（I）要想证明面面垂直，只需证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线即可，平面ACC1A1中有直线AC，可证明AC垂直平面BCC1B1中两条相交直线，则AC垂直平面BCC1B1，即可证明平面ACC1A1⊥平面BCC1B．
（II）要求直线与平面所成角，只需求直线与她在平面内的射影所成角即可，先在直线上找一点，过该点向平面作垂线，再连接斜足和垂足，所得直线为射影，把直线与它在平面内的射影放入同一个三角形中，利用解三角形，求出线面角．
（III）求二面角的大小，也就是求二面角的平面角的大小，可用三垂线法找到二面角的平面角，再放到一个三角形中，通过解三角形，得出结果．
【解析】
（I）在△ABC中，由余弦定理，得，BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．
∵ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥AC．
∵BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1．
∵AC⊂平面ACC1A1，∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B．
（II）∵A1C1∥AC，∴由（I）知，A1C1⊥平面BCC1B，∴∠A1DC1为直线DA1与平面BCC1B1所成的角．
在Rt△DA1C1中，DC1===
tan∠A1DC1==
故直线DA1与平面BCC1B1所成角为arctan
（III）过C作CH⊥DC1，垂足为H，连接AH，则由三垂线定理可知，DC1⊥AH，从而∠AHC为二面角A-DC1-C的平面角．
在Rt△CDC1中，CD=BC=
CH==
tan∠AHC-=
故二面角A-DC1-C大小为arctan．