Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，若对一切实数x，f（x）≥f′（x）恒成立，其中f′（x）是f（x）的导函数．
（I）求证：f（x）的图象与x轴无交点；
（II）若方程f（x）-2f′（x）=0有两上不同的实数根x₁，x₂，求证：．

Answer

（I）由题意因为二次函数f（x）=ax2+bx+c，若对一切实数x，f（x）≥f′（x）恒成立，所以先求二次函数导函数，然后有二次函数求出恒成立时，f（x）的图象与x轴无交点；
（II）先求出函数的导函数，因为方程f（x）-2f′（x）=0有两上不同的实数根x1，x2，等价于对应的二次函数的判别式大于0，利用根与系数的关系即可．
【解析】
（I）∵f′（x）=2ax+b  于是f（x）-f′（x）=ax2+（b-2a）x+c-b
∵对于一切实数x，都有f（x）≥f′（x）恒成立，
故a＞0且△1=（b-2a）2-4a（c-b）=b2-4ac+4a2≤0，
于是b2-4ac-4a2＜0，
所以f（x）的图象与x轴无交点．
（II）证明：∵f（x）-2f′（x）=ax2+（b-4a）x+c-2b=0有两个不同的实数根x1，x2，
故△2=（b-4a）2-4a（c-2b）=b2-4ac+16a2＞0，从而-16，
有根与系数的关系知：，
∴|x1-x2|2=（x1+x2）2-4x1x2=，于是0＜|x1-x2|2≤12，
即|x1-x2|．