Question

已知数列．
（I）求证数列成等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）若b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（III）求证：．

Answer

（I）由，可得，所以可证数列是以1为首项，2为公比的等比数列，进而可求数列{an}的通项公式；
（II）因为bn=nan=n•2n-1+1，所以Sn=b1+b2++bn=（1+2×21++n×2n-1）+n
记Tn=1+2×21++n×2n-1，于是2Tn=2+2×22++n×2n，错位相减得Tn=（n-1）×2n+1，从而可求数列{bn}的前n项和Sn；
（III）由知，当n≥2时，知，从而有进而可用放缩法转化为等比数列求和，故问题得证．
证明：（I）∵，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，∴，∴
（II）∵bn=nan=n•2n-1+1，∴Sn=b1+b2++bn=（1+2×21++n×2n-1）+n
记∴Tn=1+2×21++n×2n-1，于是2Tn=2+2×22++n×2n，两式相减化简得Tn=（n-1）×2n+1，∴数列{bn}的前n项和Sn=（n-1）×2n+n+1；
（III）由知
当n≥2时，知，∴即
当n=1，2时，结论成立．
当n≥3时，=，∴