Question

设{a_n}，{b_n}都是各项为正数的数列，对任意的正整数n，都有a_n，b_n²，a_n+1成等差数列，b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比数列．
（1）证明数列{b_n}是等差数列；
（2）如果a₁=1，b₁=2，记数列的前n项和为S_n，问是否存在常数λ，使得b_n＞λS_n对任意n∈N^*都成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用已知条件可得数列{bn}与{an}的递推关系代入2bn2=an+an+1整理，然后利用等差中项的证明数列{bn}为等差数列
（2）由a1=1，b1=2及①得a2=7，再由②得b2=从而有a2=7，b2=从而可得等差数列{bn}的首项b1=2，公差d=b2-b1=，∴bn=，又an=bn-1bn可得数列{an}通项公式；假设存在常数λ，使得bn＞λSn对任意n∈N*都成立，则有（n∈N*），∴，利用研究，问题得解．
【解析】
由题意，2bn2=an+an-1①，an+12=bn2bn+12②
（1）∵an＞0，bn＞0，∴由②得an+1=bnbn+1，从而当n≥2时，an=bn-1bn，代入①式得2bn2=bn-1bn+bnbn+1，即2bn=bn-1+bn+1（n≥2），∴数列{bn}是等差数列；
（2）a1=1，b1=2及①得a2=7，再由②得b2=，∴等差数列{bn}的首项b1=2，公差d=b2-b1=，∴bn=，
当n≥2时，an=bn-1bn=，当n=1时，a1=1也成立
∴数列{an}通项公式为an=，
∴数列的前n项和=
假设存在常数λ，使得bn＞λSn对任意n∈N*都成立，则有（n∈N*），∴
∵，当且仅当即时等号成立，∴当n=1时，的最小值为10，，
故存在常数λ＜2，使得bn＞λSn对任意n∈N*都成立