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设点M、N分别是不等边△ABC的重心与外心,已知A(0,1),B(0,-1),且...

设点M、N分别是不等边△ABC的重心与外心,已知A(0,1),B(0,-1),且manfen5.com 满分网
(1)求动点C的轨迹E;
(2)若直线y=x+b与曲线E交于不同的两点P、Q,且满足manfen5.com 满分网,求实数b的取值.
(1)设点C(x,y ),则点M  (, ),由 ,可得 MN∥AB,故N的横坐标等于,又N在AB的中垂线上,故纵坐标等于 0.由于 NA=NC,可得 =,化简可得轨迹方程,从而得到轨迹. (2)把直线y=x+b代入轨迹E的方程化简可得  4x2+6bx+3b2-3=0,由  可得  x1•x2+(x1+b)•(x2+b)=2x1•x2+b(x1+x2)+b2=0,把根与系数的关系代入求出b值. 【解析】 (1)设点C(x,y ),则 点M (, ),即 点M  (, ), 由 ,可得 MN∥AB,故N的横坐标等于,又N在AB的中垂线上,故纵坐标等于 0. 由于N是不等边△ABC的外心,∴NA=NC,∴=. 化简可得  ,xy≠0,故动点C的轨迹E是焦点在x轴上的标准位置的一个椭圆,去掉其顶点. (2)把直线y=x+b代入轨迹E的方程化简可得  4x2+6bx+3b2-3=0.由题意可得,b≠0,b≠±1, 且△=36b2-16( 3b2-3)>0,x1+x2=,x1•x2=. 由  可得  x1•x2+(x1+b)•(x2+b)=2x1•x2+b(x1+x2)+b2=0. ∴2•+b•(  )+b2=0,解得 b2=,∴b=±.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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