Question

设数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n+×（-1）ⁿ-，n∈N^*．
（Ⅰ）求a_n和a_n-1的关系式；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）证明：++…+＜，n∈N^*．

Answer

（Ⅰ）由Sn=2an+×（-1）n-，n=1，2，3，…，再写一式，两式相减整理可得an=2an-1+3×（-1）n-1
（Ⅱ）由（Ⅰ）令bn=（-1）nan得bn=-2bn-1-3，构造新数列bn+1是等比数列，从而可求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）由，∴S2k-1=22k-1，S2k=22k-1，再进行分组求和，利用等比数列的求和公式可证．
【解析】
（Ⅰ）由Sn=2an+×（-1）n-，n=1，2，3，…，①
得Sn-1=2an-1+×（-1）n-1-，n=2，3，…，②…（1分）
将①和②相减得：，n=2，3，…，…（2分）
整理得：an=2an-1+3×（-1）n-1，n=2，3，…．      …（3分）
（Ⅱ）在已知条件中取n=1得，a1=2a1--，∴a1═2．…（4分）
∵an=2an-1+3×（-1）n-1，∴（-1）nan=-2（-1）n-1an-1-3，
∴令bn=（-1）nan得bn=-2bn-1-3，n=2，3，…．…（5分）
∴bn+1+1=-2（bn+1），n=1，2，3，…，
∵b1+1=-1≠0，∴bn+1=（-1）×（-2）n-1，n=1，2，3，…，
∴an=2n-1+（-1）n-1．     …（7分）
（Ⅲ）∵，∴S2k-1=22k-1，S2k=22k-1．      …（8分）
∴++…+=＜．      …（10分）
同理++…+，∴++…+＜，n∈N*．  …（12分）