Question

已知直L₁：2x-y=0，L₂：x-2y=0．动圆（圆心为M）被L₁L₂截得的弦长分别为8，16．
（Ⅰ）求圆心M的轨迹方程M；
（Ⅱ）设直线y=kx+10与方程M的曲线相交于A，B两点．如果抛物y²=-2x上存在点N使得|NA|=|NB|成立，求k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）设M（x，y），M到L1，L2的距离分别为d1，d2，则d12+42=d22+82．所以，由此能求出圆心M的轨迹方程．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1-k2）x2-20kx-180=0．AB的中点为，AB的中垂线为，由，得．由此能求出k的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）设M（x，y），M到L1，L2的距离分别为d1，d2，则d12+42=d22+82．…（2分）
∴，
∴x2-y2=80，即圆心M的轨迹方程M：x2-y2=80．  …（4分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，
得（1-k2）x2-20kx-180=0．        ①
∴AB的中点为，…（6分）
∴AB的中垂线为，即，…（7分）
由，得      ②…（8分）
∵存在N使得|NA|=|NB|成立的条件是：①有相异二解，并且②有解． …（9分）
∵①有相异二解的条件为，
∴⇒且k≠±1．③…（10分）
②有解的条件是，∴，④…（11分）
根据导数知识易得时，k3-k+40＞0，
因此，由③④可得N点存在的条件是：-1或1＜k＜．   …（12分）