Question

已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）在[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）若存在（e为自然对数的底数，且e=2.71828…）使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）先求出函数的导函数，研究出原函数在[1，3]上的单调性即可求出函数f（x）在[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）先把不等式2f（x）≥-x2+ax-3成立转化为成立，设，利用导函数求出h（x）在上的最大值即可求实数a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由f（x）=xlnx，可得f'（x）=lnx+1，（2分）
当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
所以函数f（x）在[1，3]上单调递增．
又f（1）=ln1=0，
所以函数f（x）在[1，3]上的最小值为0．（6分）
（Ⅱ）由题意知，2xlnx≥-x2+ax-3，则．
若存在使不等式2f（x）≥-x2+ax-3成立，
只需a小于或等于的最小值．
设，则．
当时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（1，e]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．
由，，，
可得．
所以，当时，h（x）的最小值为h（1）=4
故a≤4（13分）