Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+c（a，b，c∈R，a≠0）的图象过点P（ 1，2），且在点P处的切线与直线x-3y=0垂直．
（1）若c∈[0，1），试求函数f（x）的单调区间；
（2）若a＞0，b＞0且（-∞，m），（n，+∞）是f（x）的单调递增区间，试求n-m-2c的范围．

Answer

（1）把点P的坐标代入f（x）中，得到a，b及c的关系式，记作①，求出f（x）的导函数，又函数在P处的切线与直线x-3y=0垂直，得到切线的斜率为-3，所以把x=1代入导函数中得到导函数值等于-3，列出关于a，b及c的另一关系式，记作②，联立①②，利用c表示出a与b，代入导函数中得到导函数的系数与c有关，然后根据c的范围，分c大于等于0小于和c大于等于小于1两种情况，讨论导函数的正负进而得到相应的函数的单调区间；
（2）当a与b群殴大于0时，得到导函数等于0时x的两个值，根据（-∞，m），（n，+∞）是f（x）的单调递增区间，得到m与n关于a与b的关系式，根据（1）中用c表示的a与b代入所求的式子中，得到关于c的关系式，化简后，由a与b都大于0解出c的取值范围，利用基本不等式即可求出所求式子的范围．
【解析】
由f（x）=ax3+bx2+c的图象过点P（-1，2）可知：-a+b+c=2①，
又f′（x）=3ax2+2bx，因为f（x）点P处的切线与直线x-3y=0垂直，
所以f′（-1）=3a-2b=-3②，
联立①②解得：a=1-2c，b=3-3c，
则f′（x）=3（1-2c）x2+6（1-c）x，
（i）当c∈[0，）时，1-2c＞0，
令f′（x）=0，解得x1=0，x2=-＜0，
显然，当x＞0或x＜-时，f′（x）＞0；当-＜x＜0时，f′（x）＜0，
所以当c∈[0，）时，f（x）的单调递增区间是（-∞，-）和（0，+∞），
f（x）的单调递减区间是（0，-）；
（ii）当c∈[，1）时，f（x）的单调递减区间是（-，+∞）和（-∞，0），
f（x）的单调递增区间是（0，-）；
（2）当a＞0，b＞0时，令f′（x）=3ax2+2bx=x（3ax+2b）=0，解得：x=0或x=-＜0，
由（-∞，m），（n，+∞）是f（x）的单调递增区间，得到m=-，n=0，
又a=1-2c＞0，b=3-3c＞0，得到c＜，即1-2c＞0，
则n-m-2c=-2c=-2c=+（1-2c）≥2，当且仅当1-2c=即c=0或1时取等号，
所以n-m-2c的范围是[2，+∞）．