Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S₂=3，2S_n=n+na_n，n∈N^*．
（1）求{a_n}的通项公式，并求数列{2^n-1•a_n}的前n项和T_n；
（2）设，证明：…+．

Answer

（1）当n≥2时，2Sn=n+nan，2Sn-1=n-1+（n-1）an-1，两式相减得2an=1+nan-（n-1）an-1，再写一式，相减整理可得an+1+an-1=2an，从而数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，可求数列的通项．
（2）先确定，再求和即可证明．
【解析】
（1）当n=1时，2a1=1+a1，∴a1=1
当n≥2时，2Sn=n+nan，2Sn-1=n-1+（n-1）an-1，相减得2an=1+nan-（n-1）an-1，∴2an+1=1+（n+1）an+1-nan，相减得（n-1）an+1+（n-1）an-1=2（n-1）an，即当n≥2时，an+1+an-1=2an
又S2=3，a1=1，∴a2=2，∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴an=n
∴Tn=1+2•2+3•22++n•2n-1，2Tn=2+2•22++n•2n，相减整理得Tn=（n-1）•2n+1
（2）bn=2n+1，∴，∴．

∴．
∴…+．