Question

某同学对函数f（x）=xcosx进行研究后，得出以下五个结论：①函数y=f（x）的图象是中心对称图形；②对任意实数x，f（x）＞0均成立；③函数的图象与x轴有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；④函数y=f（x）的图象与直线y=x有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；⑤当常数k满足|k|＞1时，函数y=f（x）的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点．其中所有正确结论的序号是    ．

Answer

对于①，由于f（-x）=-f（x）是奇函数，函数y=f（x）的图象是中心对称图形，故正确；
先画出原函数f（x）=xcosx的简图．由图可知：②③错；
对于④，根据cosx的周期性，故函数y=f（x）的图象与直线y=x有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等．故正确；
对于⑤，因cosx=k．其中|k|＞1时，函数y=f（x）的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点（0，0）．从而进行判断即可．
【解析】
先画出原函数f（x）=xcosx的简图．
对于①，由于f（-x）=-xcos（-x）=-xcosx，f（x）=xcosx，
∴f（-x）=-f（x）是奇函数，函数y=f（x）的图象是中心对称图形，故正确；
由图可知：②错；
对于③，令f（x）=xcosx=0可得x=0或x=kπ+，即函数的图象与x轴有无穷多个公共点，其公共点坐标为（0，0）和（kπ+，0），
其中（0，0）与（，0），（0，0）与（-，0）相邻两公共点的距离为，
其余相邻两公共点的距离为π，
则③错误；
对于④，因f（x）=xcosx=x即x=0或cosx=1，其有无穷多个解，根据cosx的周期性，故函数y=f（x）的图象与直线y=x有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等．故正确；
对于⑤，因xcosx=kx，即x=0或cosx=k．其中|k|＞1时，函数y=f（x）的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点（0，0）．故正确．
故所有正确结论的序号是①④⑤．
故答案为：①④⑤．