Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，PA=AD=DC=2，AB=4．
（1）求证：BC⊥PC；
（2）求点A到平面PBC的距离．

Answer

方法1：综合法（I）要证BC⊥PC，只要证AC⊥BC，由勾股定理易证，根据三垂线定理，可得BC⊥PC；
（II）求点A到平面PBC的距离，即找过点A的面PBC的一条垂线段即可．
方法2：向量法：建系，写出相关点的坐标，（I）要证BC⊥PC，只要证 ；
（II）求点A到平面PBC的距离，即求 在平面PBC的一个法向量上的投影的绝对值．
【解析】
方法1
（I）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，∠BAD=90°，AD=DC=2
∴∠ADC=90°，且 ．
取AB的中点E，连接CE，
由题意可知，四边形AECD为正方形，所以AE=CE=2，
又 ，所以 ，
则△ABC为等腰直角三角形，
所以AC⊥BC，
又因为PA⊥平面ABCD，且AC为PC在平面ABCD内的射影，BC⊂平面ABCD，由三垂线定理得，BC⊥PC
（II）由（I）可知，BC⊥PC，BC⊥AC，PC∩AC=C，
所以BC⊥平面PAC，BC⊂平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAC，
过A点在平面PAC内作AF⊥PC于F，所以AF⊥平面PBC，
则AF的长即为点A到平面PBC的距离，
在直角三角形PAC中，PA=2，，，
所以 即点A到平面PBC的距离为
方法2
∵AP⊥平面ABCD，∠BAD=90°
∴以A为原点，AD、AB、AP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系
∵PA=AD=DC=2，AB=4．
∴B（0，4，0），D（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，2）
（I）∴
∵
∴，即BC⊥PC
（II由∵设面PBC法向量 =（a，b，c）
∴∴
设a=1，∴c=2，b=1∴=（1，1，2）
∴点A到平面PBC的距离为
=
∴点A到平面PBC的距离为