Question

在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆的左、右顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设Q（t，m）是直线x=9上的点，直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N，求证：直线MN
必过x轴上的一定点，并求出此定点的坐标；
（3）实际上，第（2）小题的结论可以推广到任意的椭圆、双曲线以及抛物线，请你对抛物线y²=2px（p＞0）写出一个更一般的结论，并加以证明．

Answer

（1）由题意得，c=2，故a2-b2=4，又椭圆过点（2，），代入椭圆方程，列方程求解即可．
（2）设出直线QA的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，表示出点M的坐标，同理，表示出点N的坐标，然后讨论直线MN与x轴的交点是否为定点．
（3）类比（2）中的结论，将椭圆改成抛物线，证明与（2）类似：设出P、M的坐标，利用直线OP的方程与抛物线方程联立，求出点N的坐标，进而求出MN的方程，从而MN与x轴的交点可求．
【解析】
（1）依题意，椭圆过点（2，），故，a2-b2=4，解得a2=9，b2=5，故椭圆C的方程为．
（2）设Q（9，m），直线QA的方程为y=（x+3），代入椭圆方程，整理得（80+m2）x2+6x+9m2-720=0，
设M（x1，y1），则-3x1=，解得x1=，y1=（x1+3）=，故点M的坐标为（，）．
同理，直线QB的方程为y=（x-3），代入椭圆方程，整理得（20+m2）x2-6x+9m2-180=0，
设N（x2，y2），则3x2=，解得x2=，y2=（x1-3）=-，故点M的坐标为（，-）．
①若，解得m2=40，直线MN的方程为x=1，与x轴交与（1，0）点；
②若m2≠40，直线MN的方程为y+=（x-），令y=0，解得x=1，．
综上所述，直线MN必过x轴上的定点（1，0）．
（3）结论：已知抛物线y2=2px（p＞0）的顶点为O，P为直线x=-q（q≠0）上一动点，过点P作X轴的平行线与抛物线交于点M，直线OP与抛物线交于点N，则直线MN必过定点（q，0）．
证明：设P（-q，m），则M（，m），直线OP的方程为y=-x，代入y2=2px，得y2+y=0，可求得N（，-），
直线MN的方程为y-m=（x-），令y=0，解得x=q，即直线MN必过定点（q，0）．