Question

已知函数f（x）=-lnx，x∈（0，e）．曲线y=f（x）在点（t，f（t））处的切线与x轴和y轴分别交于A、B两点，设O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．

Answer

由f（x）的解析式求出f（x）的导函数，把x=t代入导函数即可求出切线的斜率，把t代入f（x）即可求出切点的纵坐标，根据切点的坐标和斜率表示出切线的方程，然后令y=0得到点A的横坐标，令x=0得到点B的纵坐标，根据t的范围得到求出的A的横坐标和B的纵坐标都大于0，然后利用三角形的面积公式表示出三角形AOB的面积S，得到S与t的函数关系式，求出S的导函数，令导函数大于0，得到函数的增区间，令导函数小于0得到函数的减区间，根据函数的增减性即可得到S的最大值．
【解析】
由已知，
所以曲线y=f（x）在点（t，f（t））处的切线方程为．
令y=0，得A点的横坐标为xA=t（1-lnt），
令x=0，得B点的纵坐标为yB=1-lnt，
当t∈（0，e）时，xA＞0，yB＞0，
此时△AOB的面积，，
解S'＞0，得；解S'＜0，得．
所以是函数的增区间；是函数的减区间．
所以，当时，△AOB的面积最大，最大值为．