Question

如图所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知∠ABC=90°，AB=4，BC=4，BB₁=3，M、N分别是B₁C₁和AC的中点．
（1）求异面直线AB₁与BC₁所成的角；
（2）求MN的长；
（3）求MN与底面ABC所成的角．

Answer

（1）过C作CD∥AB，过A作AD∥CB，交CD于D，连接C1D，易得四边形ADC1B1为矩形，即∠BC1D为异面直线AB1与BC1所成的角或其补角，根据余弦定理易得到异面直线AB1与BC1所成的角；
（2）取BC的中点P，连接MP、NP，根据三角形中位线定理，得MP∥BB1，则MP⊥平面ABC，解三角形MNP即可得到MN的长；
（3）由（2）的结论，MN与底面所成的角为∠MNP，解三角形MNP即可得到MN与底面ABC所成的角．
【解析】
（1）过C作CD∥AB，过A作AD∥CB，交CD于D，连接C1D，
∵B1C1∥BC，B1C1=BC，BC∥AD，BC=AD，
∴四边形ADC1B1为矩形，且AB1∥C1D，
∴∠BC1D为异面直线AB1与BC1所成的角或其补角．由已知条件和余弦定理可得．
∴异面直线AB1与BC1所成的角为．
（2）取BC的中点P，连接MP、NP，则MP∥BB1，
∴MP⊥平面ABC，又NP⊂平面ABC，
∴MP⊥NP．，MP=3，
∴．
（3）由（2）知，MN与底面所成的角为∠MNP，且NP=2，
，．