Question

设直线l与球O有且仅有一个公共点P．从直线l出发的两个半平面截球O的两个截面圆O₁和圆O₂的半径分别为3和2，若这两个半平面α，β所成的二面角为120°．则球O的半径R=    ．

Answer

由已知中直线l与球O有且仅有一个公共点P．从直线l出发的两个半平面截球O的两个截面圆O1和圆O2的半径分别为3和2，若这两个半平面α，β所成的二面角为120°．过P，O1和O2作球的截面，则OO1⊥O1P，OO2⊥O2P，O1PO2=120°，O1P=3，O2P=2，OP=R，根据两角和的余弦公式，可以构造一个关于R有方程，解方程即可求出R的值．
【解析】
∵直线l与球O有且仅有一个公共点P，
则直线l与球O相切于点P，
过P，O1和O2作球的截面，如下图所示

则O1P=3，O2P=2，OP=R
cos∠O1PO=，sin∠O1PO=
cos∠O2PO=，sin∠O2PO=
∵∠O1PO2=120°
∴cos∠O1PO2=cos∠O1PO•cos∠O2PO-sin∠O1PO•sin∠O2PO==-
解得R=
故答案为：