Question

已知点P是直角坐标平面内的动点，点P到直线（p是正常数）的距离为d₁，到点的距离为d₂，且d₁-d₂=1．（1）求动点P所在曲线C的方程；
（2）直线l 过点F且与曲线C交于不同两点A、B，分别过A、B点作直线 的垂线，对应的垂足分别为M、N，求证=；
（3）记S₁=S_△FAM，S₂=S_△FMN，S₃=S_△FEN（A、B、M、N是（2）中的点），，求λ 的值．

Answer

（1）设动点为P（x，y），依据题意，有，化简得y2=2px，由此能求出动点P所在曲线C的方程．
（2）由题意可知，当过点F的直线l（3）的斜率为0时，不合题意，故设直线l：x=my-1，联立方程，可化为y2-2mpy-p2=0，再由韦达定理进行求解．
（3）依据x1+x2=m（y1+y2）+p=2m2p+p，，知==，==p4（1+m2）．由此能得到λ 的值．
解 （1）设动点为P（x，y），（1分）
依据题意，有，化简得y2=2px．（4分）
因此，动点P所在曲线C的方程是：y2=2px．（6分）
（2）由题意可知，当过点F的直线l（3）的斜率为0时，不合题意，
故可设直线l：x=my-1，如图所示．（8分）
联立方程组，可化为y2-2mpy-p2=0，
则点A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足．（10分）
又AM⊥l1、BN⊥l1，可得点、．
于是，，，
因此．（12分）
（3）依据（2）可算出x1+x2=m（y1+y2）+p=2m2p+p，，
则==，==p4（1+m2）．（16分）
所以，即为所求．（18分）