Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x、y，等式f（x）f（y）=f（x+y）恒成立，若数列{a_n}满足a₁=f（0），且（n∈N^*），则a₂₀₁₁的值为（ ）
A．4017
B．4018
C．4019
D．4021

Answer

因为是选择题，可用特殊函数来研究，根据条件，底数小于1的指数函数符合题意，可令f（x）=，从而很容易地求得则a1=f（0）=1，再由 （n∈N*），得到an+1=an+2，由等差数列的定义求得结果．
【解析】
根据题意，不妨设f（x）=
则a1=f（0）=1，
∵（n∈N*），
∴an+1=an+2
∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列
∴an=2n-1
∴a2011=4021
故选D