Question

已知集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，M={（x，y）||x|+|y|＜a}，P={（x，y）y=f（x）}，现给出下列函数：
①y=a^x
②y=log_ax
③y=sin（x+a）
④y=cosax，
若0＜a＜1时，恒有P∩∁uM=P，则f（x）所有可取的函数的编号是（ ）
A．①②③④
B．①②④
C．①②
D．④

Answer

利用补集的定义求出∁uM，由P∩∁uM=P，得到P⊆∁uM，故P中的函数f（x）必须满足||x|+|y|≥a，检验各个选项是否满足此条件．
【解析】
∵∁uM={（x，y）||x|+|y|≥a}，0＜a＜1时，P∩∁uM=P，∴P={（x，y）y=f（x）}⊆∁uM，
如图所示：结合图形可得满足条件的函数图象应位于曲线|x|+|y|=a（-a≤x≤a ）的上方．
①中，x∈R，y＞0，满足|x|+|y|≥a，故①可取．
②中，x＞0，y=logax∈R，满足||x|+|y|≥a，故②可取．
③中的函数不满足条件，如  x=0，a= 时，y=，不满足|x|+|y|≥a．
④中x∈R，-1≤y≤1，满足||x|+|y|≥a，故④可取．
故选B．