Question

已知函数f（x）=，g（x）=-ax+1．
（1）曲线f（x）在x=1处的切线与直线3x-y=1平行，求a的值．
（2）求f（x）的单调区间．
（3）若a＞0，在区间（1，]至少存在一个实数x，使f（x）＞g（x）成立，试求实数a的取值范围．

Answer

（1）求出f′（x），因为直线3x-y=1的斜率为3，曲线f（x）在x=1处的切线与直线3x-y=1平行，得到f′（1）=3，即可得到关于a的一元二次方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）当a等于0时，得到f（x）等于常数为增减性；当a不等于0时，把导函数分解因式，求出导函数为0时x的值，利用x的值讨论导函数的正负即可得到相应范围函数的单调区间；
（3）设F（x）等于f（x）-g（x），求出F′（x）判断其符号在区间（1，]上恒大于0得到F（x）为增函数，所以F（x）的最大值为F（），要使存在一个实数x，使f（x）＞g（x）成立即要F（）大于0，代入列出关于a的不等式，求出解集即可得到a的范围．
【解析】
（1）f′（x）=a2x2-2ax
则f′（1）=3即a2-2a-3=0，（a-3）（a+1）=0
解得a=-1或a=3；

（2）当a≠0时，f′（x）=a2x（x-）
①a＞0时，当x∈（-∞，0），f′（x）＞0；，f′（x）＜0；＜x时，f′（x）＞0
②a＜0时，当x∈（-∞，），f′（x）＞0；＜x＜0时，f′（x）＜0；x＞0时，f′（x）＞0
而当a=0时，f（x）=，函数f（x）无单调性．
综上，a=0时f（x）无单调性；a＞0时，f（x）在（-∞，0）单调增，在（0，）上单调减，（，+∞）上单调增；
a＜0时，f（x）在（-∞，-）单调增，在（-，0）上单调减，（0，+∞）上单调增；

（3）令F（x）=f（x）-g（x）=a2x3-ax2+ax-，则F′（x）=a2x2-2ax+a=a（ax2-2x+1）=a[ax2+（1-2x）]
∵a＞0，x∈（0，]
∴F′（x）＞0∴F（x）在（0，]上单调递增，所以F（x）max=F（）
若存在x∈（0，]使f（x）＞g（x）成立，只需F（x）max＞0即F（）＞0．
代入得a2-a+a•-＞0
化简得a2+6a-8＞0，
解得a＞-3+或a＜-3-（舍去）
∴a的范围是（-3+，+∞）．