Question

已知边长为1的等边△ABC，在线段AC上任取一点P（不与端点重合），将△ABP折起，使得平面BPC⊥平面ABP，则当三棱锥A-PBC的体积最大时，点A到面PBC的距离是    ．

Answer

设AP=x，则PC=1-x，我们求出底面三角形BPC的面积，及高的长度，可以得到三棱锥A-PBC的体积V的表达式（含参数x），利用换元法，结合二次函数的性质，我们可求出当三棱锥A-PBC的体积最大时，点A到面PBC的距离．
【解析】
设AP=x，则PC=1-x，
则S△BPC==•（1-x）
点A到平面BPC的距离就是△ABP的中BP边上的高
∴H==
故三棱锥A-PBC的体积V=
令t=x2-x（t∈，0）
则V===
故t=，即x=时，V取最大值
故答案为：