Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（1）证明数列{a_n-n}是等比数列；
（2）设数列{a_n}的前n项和S_n，求S_n+1-4S_n的最大值．

Answer

（1）整理an+1=4an-3n+1，得an+1-（n+1）=4（an-n），判断出数列{an-n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
（2）由（Ⅰ）可知an-n，进而求得an，进而利用等差数列和等比数列的求和公式求得答案．
【解析】
（1）由题设an+1=4an-3n+1，得an+1-（n+1）=4（an-n），n∈N*．
又a1-1=1，
所以数列{an-n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
（2）由（Ⅰ）可知an-n=4n-1，
于是数列{an}的通项公式为an=4n-1+n．
所以数列{an}的前n项和Sn=+，Sn+1=+
所以Sn+1-4Sn=-（3n2+n-4），
故n=1，最大值为：0．