Question

已知动点S过点T（0，2）且被x轴截得的弦CD长为4．
（1）求动圆圆心S的轨迹E的方程；
（2）设P是直线l：y=x-2上任意一点，过P作轨迹E的切线PA，PB，A，B是切点，求证：直线AB恒过定点M；
（3）在（2）的条件下，过定点M作直线：y=x-2的垂线，垂足为N，求证：MN是∠ANB的平分线．

Answer

（1）借助于图象把已知条件转化为|ST|2=22+|y|2，就可求出圆心S的轨迹E的方程；
（2）先求切线方程，转化为x1，x2是方程的两根，从而得AB的方程，进而求出定点；
（3）若AN．BN的斜率均存在，分别为k1，k2，倾斜角为α，β，要证MN是∠ANB的平分线，只需要证k1k2=1，再说明斜率不存在时也成立即可．
【解析】
（1）由题意，设S（x，y），则ST|2=22+|y|2，即x2=4y，所以轨迹E的方程为x2=4y．
（2）设A（x1，y1）B（x2，y2），所以可得切线PA：，即
设P（t，t-2），P在PA上有，同理
故x1，x2是方程的两根，从而有，∴AB的方程为：，故恒过定点（2，2）．
（3）过定点M作直线：y=x-2的垂线方程为x+y-4=0，从而垂足为N（3，1），MN的斜率为1，倾斜角为135．
若AN．BN的斜率均存在，分别为k1，k2，倾斜角为α，β，要证MN是∠ANB的平分线，只需要证k1k2=1

设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-2）+2代入x2=4y得x2-4kx+8k-8=0，∴x1+x2=4k，x1x2=8k-8∴y1+y2=4k2-4k+4，y1y2=4k2-8k+4，代入得
当时，k1k2=1，当时，解得A，B两点的坐标分别为，此时AN，BN的斜率一个不存在，一个为0，从而MN是∠ANB的平分线．