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已知函数y=f(x)的定义域为R,且对于任意x1,x2∈R,存在正实数L,使得|...

已知函数y=f(x)的定义域为R,且对于任意x1,x2∈R,存在正实数L,使得|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|都成立.
(1)若manfen5.com 满分网,求L的取值范围;
(2)当0<L<1时,数列{an}满足an+1=f(an),n=1,2,….
①证明:manfen5.com 满分网
②令manfen5.com 满分网,证明:manfen5.com 满分网
(1)由|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|,可得≤L|x1-x2|,从而当x1≠x2时,得L≥,进而有L≥1,当x1=x2时,|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|恒成立,故问题得解; (2)①由于an+1=f(an),n=1,2,…,所以当n≥2时,|an-an+1|=|f(an-1)-f(an)|≤L|an-1-an|=L|f(an-2)-f(an-1)|≤L2|an-2-an-1|≤…≤Ln-1|a1-a2|,从而≤(1+L+L2+…+Ln-1)|a1-a2|=|.所以问题可证 ②由Ak=,表达出| =|,再利用①的结论可解. 【解析】 (1)证明:对任意x1,x2∈R,有 |=|=.…2分 由|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|,即≤L|x1-x2|. 当x1≠x2时,得L≥. ∵|,且|x1|+|x2|≥|x1+x2|, ∴≤1.…4分 ∴要使|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|对任意x1,x2∈R都成立,只要L≥1. 当x1=x2时,|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|恒成立. ∴L的取值范围是[1,+∞).…5分 (2)证明:①∵an+1=f(an),n=1,2,…, 故当n≥2时,|an-an+1|=|f(an-1)-f(an)|≤L|an-1-an|=L|f(an-2)-f(an-1)|≤L2|an-2-an-1|≤…≤Ln-1|a1-a2| ∴≤(1+L+L2+…+Ln-1)|a1-a2|…7分 =|. ∵0<L<1,∴(当n=1时,不等式也成立).…9分 ②∵Ak=, ∴| =| =| ≤. …11分 ∴ = ≤|a1-a2|+|a2-a3|+…+|an-an+1|≤|.…14分
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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