Question

设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点P（2，4），过P作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的斜率分别为k_PA，k_PB．
（1）求抛物线的方程；
（2）若k_PA+k_PB=0，求证直线AB的斜率为定值，并求出其值；
（3）若k_PA•k_PB=1，求证直线AB恒过定点，并求出其坐标．

Answer

（1）先设抛物线方程，根据抛物线过点（2，4），把其代入即可求出抛物线的方程；
（2）先设出A，B的坐标，根据两点求出kPA，kPB，以及直线AB的斜率的表达式，根据kPA+kPB=0，即可证明结论；
（3）先根据kPA•kPB=1得到关于A，B的坐标之间的关系，再根据两点些出直线方程，结合所求的结论，即可证直线AB恒过定点，并求出其坐标．
【解析】
（1）依题意，可设所求抛物线的方程为y2=2px（p＞0），
因抛物线过点（2，4），故42=4p，p=4，抛物线方程为y2=8x．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
同理，．
∵kPA+kPB=0，
∴+=0，∴=，y1+4=-y2-4，y1+y2=-8
∴kAB=-1．
即直线AB的斜率恒为定值，且值为-1．
（3）∵kPAkPB=1，
∴•=1，
∴y1y2+4（y1+y2）-48=0．
直线AB的方程为，即（y1+y2）y-y1y2=8x．
将y1y2=-4（y1+y2）+48代入上式得
（y1+y2）（y+4）=8（x+6），该直线恒过定点（-6，-4），命题得证．