Question

已知函数f（x）=x³+x．
（1）指出f（x）在定义域R上的奇偶性与单调性（只要求写出结论，无须证明）；
（2）已知实数a，b，c满足a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，试判断f（a）+f（b）+f（c）与0的大小，并加以证明．

Answer

（1）根据已知中f（x）=x3+x．求出f（-x），并判断f（-x）与f（x）的关系，然后根据函数奇偶性的性质得到函数的奇偶性，分析函数的两个组成部分对应函数的单调性，进而根据“增函数+增函数=增函数”的原则得到答案．
（2）由a+b＞0，得a＞-b，由（1）中函数的增函数，故f（a）＞f（-b），又由（1）中函数为奇函数可得：f（-b）=-f（b），即f（a）＞-f（b），于是f（a）+f（b）＞0，同时求出f（b）+f（c）＞0，f（c）+f（a）＞0．利用不等式的性质即可得到答案．
【解析】
（1）∵函数f（x）=x3+x的定义域为R，关于原点对称
又∵f（-x）=（-x）3+（-x）=-（x3+x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数，
又∵y=x3在R上单调递增，y=x在R上单调递增
∴f（x）=x3+x在定义域R上也为增函数．
（2）由a+b＞0，得a＞-b，故f（a）＞f（-b）=-f（b），于是f（a）+f（b）＞0．
同理，f（b）+f（c）＞0，f（c）+f（a）＞0．
故f（a）+f（b）+f（b）+f（c）+f（c）+f（a）＞0，即有f（a）+f（b）+f（c）＞0．