Question

设函数f（x）定义在R上，f（0）≠0，且对于任意a，b∈R，都有f（a+b）+f（a-b）=2f（a）f（b）．
（1）求证：f（x）为偶函数；
（2）若存在正数m使f（m）=0，求证：f（x）为周期函数．

Answer

（1）先根据f（a+b）+f（a-b）=2f（a）f（b）得到f（-x）=f（x），从而很容易得到函数f（x）的奇偶性．
（2）问题就是要证：存在T≠0，使f（x+T）=f（x）恒成立，可T为何值呢？T与 m又有何关系？不难发现一个特殊函数f（x）=cosx满足题设条件，且cos0=1，而，又y=cosx为周期函数且周期为2π，它是的4倍，于是猜想f（x）是以4m为周期的周期函数．故在条件式中令a=m，b=x，得到证明．
【解析】
（1）令a=b=0，得2f（0）=2f2（0）．
∵f（0）≠0，∴f（0）=1．
又令a=0，b=x，则f（x）+f（-x）=2f（0）f（x），
∴f（-x）=f（x），即f（x）为偶函数．
（2）问题就是要证：存在T≠0，使f（x+T）=f（x）恒成立，可T为何值呢？T与 m又有何关系？不难发现一个特殊函数f（x）=cosx满足题设条件，且cos0=1，而，又y=cosx为周期函数且周期为2π，它是的4倍，于是猜想f（x）是以4m为周期的周期函数．故在条件式中令
a=m，b=x，则f（m+x）+f（m-x）=2f（m）f（x）=0，故f（m+x）=-f（m-x）．
令x取m+x，则
f（2m+x）=-f（-x）=-f（x）．
∴f（4m+x）=-f（2m+x）=-（-f（x））=f（x），得证．