Question

设A、B是双曲线上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点．
（I）求直线AB的方程
（II）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

Answer

（Ⅰ）依题意，记A（x1，y1），B（x2，y2），可设直线AB的方程为y=k（x-1）+2，代入双曲线方程，化简可得
（2-k2）x2-2k（2-k）x-（2-k）2-2=0①，由根与系数的关系，可得，而已知N（1，2）是AB的中点得，联立可得k的值，即可得直线的方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得k的值，计算可得A、B的坐标，由CD垂直平分AB，可得直线CD的方程，代入双曲线方程，整理得x2+6x-11=0；记C（x3，y3），D（x4，y4），以及CD的中点为M（x，y），则x3，x4是方程②的两个根；计算可得，|MA|=|MB|=|MC|=|MD|，即可得么A、B、C、D四点共圆．
【解析】
（I）依题意，记A（x1，y1），B（x2，y2），
可设直线AB的方程为y=k（x-1）+2，
代入x2-=1，整理得（2-k2）x2-2k（2-k）x-（2-k）2-2=0①
x1，x2则是方程①的两个不同的根，
所以2-k2≠0，且x1+x2=，
由N（1，2）是AB的中点得，
∴k（2-k）=2-k2，
解得k=1，
所以直线AB的方程为y=x+1

（II）将k=1代入方程①得x2-2x-3=0
解出x1=-1，x2=3
由y=x+1得y1=0，y2=4．
即A、B的坐标分别为（-1，0）和（3，4）．
由CD垂直平分AB，
得直线CD的方程为y=-（x-1）+2，
即y=3-x．
代入双曲线方程，整理得x2+6x-11=0．②
记C（x3，y3），D（x4，y4），以及CD的中点为M（x，y），
则x3，x4是方程②的两个根．所以x3+x4=-6，x3x4=-11．
从而x=，
y=3-x=6|CD|=
=
∴|MC|=|MD|=
又|MA|=|MB|=
即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆．