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如图,AB为圆O的直径,C为圆O上一点,AP和过C的切线互相垂直,垂足为P,过B...

如图,AB为圆O的直径,C为圆O上一点,AP和过C的切线互相垂直,垂足为P,过B的切线交过C的切线于T,PB交圆O于Q,若∠BTC=120°,AB=4,则PQ•PB=   
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根据题意,圆的半径等于2,设PT与AB交与点M,可得∠COB=60°=∠BTM,∠BMT=30°,利用直角三角形中的边角关系求得TB、BM、MP的值,由切割线定理求得 MC,求得PC=MP-MC的值,据PQ•PB=PC2 求出结果. 【解析】 由题意可得,圆的半径等于2,设PT与AB交与点M,∵∠BTC=120°,则∠COB=60°=∠BTM,∠BMT=30°. TB=TC=OBtan30°=,∴BM==2. 由切割线定理可得 MC2=MB•MA=2(2+4)=12,∴MC=2. ∵cos∠BMT====,∴MP=3,∴PC=MP-MC=3-2=, 由切割线定理可得 PQ•PB=PC2=3,故答案为 3.
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