Question

如图，已知平面四边形ABCD中，△BCD为正三角形，AB=AD=2，∠BAD=2θ，记四边形ABCD的面积为S．
（1）将S表示为θ的函数；
（2）求S的最大值及相应的θ值．

Answer

（1）根据题设条件合理建立方程，从而得出S关于θ的函数关系式．
（2）利用正弦函数取得最大值的结论，可以得到S的最大值及相应的θ值．
【解析】
（1）∵∠BAD=2θ，
∴△DAD中，BD2=AB2+AD2-2AB•ADcos2θ=8-8cos2θ，
∵△BCD为正三角形
∴S△BCD=BD2=（2-2cos2θ）
∴四边形ABCD的面积为S=S△BAD+S△BCD=•AB•ADsin2θ+（2-2cos2θ）
=+2sin2θ-2cos2θ=+4sin（2θ-），其中θ∈（0，）
（2）由（1）得，当2θ-=时，
即θ=时，S的最大值为4+．