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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是一个矩形,△PAD为正三角形.E和F分别是A...

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是一个矩形,△PAD为正三角形.E和F分别是AB和PC的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)若AB=4,AD=3,PC=5,求三棱锥C-EFB的体积.

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(1)要证EF∥平面PAD,需要证面GEF∥面PAD,需要证,易得证明思路. (2)要求三棱锥C-EFB的体积,需要找出三棱锥的高,需要证明FK⊥平面ABCD⇐FK∥PH且PH⊥平面ABCD⇐PH⊥AD且PH⊥HC⇐PH2+CH2=PC2,找出三棱锥的高后,需计算出高FK长度⇐FK=PH⇐PH=DH⇐DH=AD⇐AD=3. 【解析】 (1)取DC的中点G,连接EG、FG, ∵F是PC的中点,G是DC的中点, ∴GF是△PCD的中位线,GF∥PD; ∵G是DC的中点,E是AB的中点, ∴GE是矩形ABCD的中位线,GE∥AD; GE、GF⊆面GEF,GE与GF相交,∴面GEF∥面PAD, ∵EF⊆面GEF,∴EF∥平面PAD. (2)由题意知,在正三角形中,取AD的中点H, ∵△PAD为正三角形,∴PH⊥AD,又∵DH=AD=, ∴在Rt△PHD中,PH=DH=, ∵CD=AB=4,DH=AD=,ABCD是矩形, ∴CH2=+42,又∵PC=5 ∴PH2+CH2=++42=9+16=25=PC2 ∴PH⊥HC,又∵AD、HC⊆平面ABCD且AD∩HC=H, ∴PH⊥平面ABCD, ∵FK是三角形PHC的中位线,∴FK∥PH  ∴FK=PH=,FK⊥平面ABCD, ∴VC-EFB=S△EBCFK=××2×3×=
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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