Question

已知两圆Q1：（x+1）²+y²=和Q2：（x-1）²+y²=，动圆P与⊙O1外切，且与⊙O2内切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点M（5，0）作直线l与点P的轨迹交于不同两点A、B，试推断是否存在直线l，使得线段AB的垂直平分线经过圆心O2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由已知条件中，两圆Q1：（x+1）2+y2=和Q2：（x-1）2+y2=，动圆P与⊙O1外切，且与⊙O2内切．易得动圆圆心P到已知两圆圆心的距离和为定值，即动圆圆心P的轨迹是一个椭圆，根据已知条件求出a，b值，即可确定动圆圆心P的轨迹方程．
（2）我们可以假设这样的直线存在，由其经过点M（5，0），故可以设出其点斜式方程，然后经过推理得到矛盾，即说明假设不成立，即不存在这样的直线．
【解析】
（Ⅰ）由已知，点O1（-1，0），O2（1，0），，，则
|O1O2|=2＜r2-r1，所以⊙O1内含于⊙O2．
设圆P的半径为r，因为动圆P与⊙O1外切，且与⊙O2内切，则
．
所以动圆圆心P轨迹是以点O1O2为焦点的椭圆
因为a=，c=1，所以b2=a2-c2=4．
故动圆圆心P的轨迹方程是
（Ⅱ）因为直线x=5与椭圆无交点，可设直线l方程为y=k（x-5）．
由，得4x2+5k2（x-5）2=20，即（5k2+4）x2-50k2x+125k2-20=0
设点A（x1，y1，B（x2，y2），AB的中点为C（x，y），则
=
，y=k（x-5）==．
若线段AB的垂直平分线经过圆心O2，则CO2⊥l，即
所以，即4=0，矛盾！
故不存在直线l使得线段AB的垂直平分线经过圆心O2．