Question

已知函数，数列{a_n}，{b_n}满足：a₁＞0，b₁＞0，a_n=f（a_n-1），b_n=f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2）．
（1）求a₁的取值范围，使得对∀n∈N^*，都有a_n+1＞a_n；
（2）若a₁=3，b₁=4，求证：对∀n∈N^*都有．

Answer

（1）由=，知==．由an＞0（n∈N*），知要使对∀n∈N*，都有an+1＞an，只须a2＞a1，由此能求出a1的取值范围．
（2）当a1=3时，由an+1＞an，得，又a1=3，，由bn+1＜bn，得（n∈N），由此能够证明有．
（1）【解析】
∵=，（1分）
∴=
==
=（4分）
∵当x＞0时，又a1＞0，
∴an＞0（n∈N*）
要使对∀n∈N*，都有an+1＞an，只须a2＞a1，即
解得．（6分）
（2）证明：当a1=3时，由（1）知an+1＞an，即，解得，
又a1=3则．（7分）
当b1=4时，由（1）知bn+1＜bn，得（n∈N*）（8分）
∴bn-an＞0（n∈N*）
∴．（n∈N*）（12分）