Question

已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x（x∈R）．
（1）当x取什么值时，函数f（x）取得最大值，并求其最大值；
（2）若θ为锐角，且，求tanθ的值．

Answer

（1）由倍角公式，把2sinxcosx化为sin2x，再用换角化式把2x角化为2x+角，把这个角看成一个整体角X，利用正弦函数的有界性得最大值．
（2）把θ+代入f（x）的解析式得f（θ+）的解析式，
①解法1，由f（θ+）的解析式得cos2θ的值，由平方关系及θ角的范围得sin2θ的值，由商的关系得tan2θ，再由正切的二倍角公式得tanθ的二次方程，分解因式得tanθ的值，再由角的范围确定唯一的值．
②解法2，由f（θ+）的解析式得cos2θ的值，由二倍角公式和θ角的范围得cosθ的值，由平方关系得sinθ的值，由商的关系得tanθ的值．
③解法3，由f（θ+）的解析式得cos2θ的值，由平方关系及θ角的范围得sin2θ的值，由商的关系得tanθ，分子分母同乘以2cosθ，把角θ化为2θ，代数求值．
【解析】
（1）f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x（1分）
=（2分）
=．（3分）
∴当，即Z）时，函数f（x）取得最大值，其值为．
（5分）
（2）解法1：∵，∴．（6分）
∴．（7分）
∵θ为锐角，即，∴0＜2θ＜π．
∴．（8分）
∴．（9分）
∴．（10分）
∴．
∴．
∴或（不合题意，舍去）（11分）
∴．（12分）
解法2：∵，∴．
∴．（7分）
∴．（8分）
∵θ为锐角，即，
∴．（9分）
∴．（10分）
∴．（12分）
解法3：∵，∴．
∴．（7分）
∵θ为锐角，即，∴0＜2θ＜π．
∴．（8分）
∴（9分）
=（10分）
==．（12分）