Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，且对于任意x₁，x₂∈R，存在正实数L，使得|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|都成立．
（1）若，求L的取值范围；
（2）当0＜L＜1时，数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n），n=1，2，…．
①证明：；
②令，证明：．

Answer

（1）由|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|，可得≤L|x1-x2|，从而当x1≠x2时，得L≥，进而有L≥1，当x1=x2时，|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|恒成立，故问题得解；
（2）①由于an+1=f（an），n=1，2，…，所以当n≥2时，|an-an+1|=|f（an-1）-f（an）|≤L|an-1-an|=L|f（an-2）-f（an-1）|≤L2|an-2-an-1|≤…≤Ln-1|a1-a2|，从而≤（1+L+L2+…+Ln-1）|a1-a2|=|．所以问题可证
②由Ak=，表达出|
=|，再利用①的结论可解．
【解析】
（1）证明：对任意x1，x2∈R，有
|=|=．…2分
由|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|，即≤L|x1-x2|．
当x1≠x2时，得L≥．
∵|，且|x1|+|x2|≥|x1+x2|，
∴≤1．…4分
∴要使|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|对任意x1，x2∈R都成立，只要L≥1．
当x1=x2时，|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|恒成立．
∴L的取值范围是[1，+∞）．…5分
（2）证明：①∵an+1=f（an），n=1，2，…，
故当n≥2时，|an-an+1|=|f（an-1）-f（an）|≤L|an-1-an|=L|f（an-2）-f（an-1）|≤L2|an-2-an-1|≤…≤Ln-1|a1-a2|
∴≤（1+L+L2+…+Ln-1）|a1-a2|…7分
=|．
∵0＜L＜1，∴（当n=1时，不等式也成立）．…9分
②∵Ak=，
∴|
=|
=|
≤． …11分
∴

=
≤|a1-a2|+|a2-a3|+…+|an-an+1|≤|．…14分