Question

如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上，点F在DE上，且AF⊥DE，若圆柱的侧面积与△ABE的面积之比等于4π． 
（Ⅰ）求证：AF⊥BD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-E的正弦值．

Answer

（Ⅰ）欲证BE⊥AF，而AF⊂平面ADE，可先证BE⊥平面ADE，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BE与平面ADE内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知BE⊥AF，又AF⊥DE，满足定理所需条件；
（Ⅱ）取BD的中点M，连接AM，FM，根据二面角平面角的定义可知∠AMF为二面角A-BD-E的平面角，过点E作EO⊥AB，垂足为O，在Rt△AFM中，求出此角的正弦值即可求出所求．
【解析】
（Ⅰ）因为AD⊥平面ABE，所以AD⊥BE．（1分）
又AE⊥BE，AD∩AE=A，所以BE⊥平面ADE．（2分）
因为AF⊂平面ADE，所以BE⊥AF．（3分）
又AF⊥DE，所以AF⊥平面BDE，故AF⊥BD．（4分）

（Ⅱ）取BD的中点M，连接AM，FM．
因为AB=AD，则AM⊥BD．因为AF⊥平面BDE，则AF⊥BD．
所以BD⊥平面AFM，从而FM⊥BD，所以∠AMF为二面角A-BD-E的平面角．（6分）
过点E作EO⊥AB，垂足为O．
设圆柱的底半径为r，因为圆柱的轴截面ABCD是正方形，
则圆柱的母线长为2r，所以其侧面积为2πr•2r=4πr2，
又△ABE的面积为．
由已知，，则OE=r，
所以点O为圆柱底面圆的圆心．（8分）
在Rt△AOE中，．
在Rt△DAE中，，．（10分）
又，在Rt△AFM中，．
故二面角A-BD-E的正弦值为．（12分）