Question

函数f（x）=x³-3tx+m（x∈R，m和t为常数）是奇函数．
（1）求实数m的值和函数f（x）的图象与横轴的交点坐标；
（2）设g（x）=|f（x）|（x∈[-1，1]），求g（x）的最大值F（t）；
（3）求F（t）的最小值．

Answer

（1）先根据奇函数的性质求出m的值，然后结合函数的单调性，令f（x）=0即可求出x的值，从而求出与x轴的交点坐标．
（2）g（x）=|x3-3xt|（x∈[0，1]）是偶函数，所以只要求出g（x）=|x3-3xt|（x∈[0，1]）的最大值即可．
（3）F（t）在（-∞，）上为减函数，，所以t=时，F（t）取得最小值．
【解析】
（1）由于f（x）为奇函数，易得m=0…（1分）
设f（x）=x3-3tx=x（x2-3t）=0
①当3t＜0时，上述方程只有一个实数根x=0，所以f（x）与x轴的交点坐标为（0，0）
②当3t=0时，上述方程有三个相等实数根x=0，所以f（x）与x轴的交点坐标为（0，0）
③当3t＞0时，上述方程的解为x1=0，x2，3=±，所以f（x）与横轴的交点坐标分别为：（0，0），（，0）…（4分）（少一种情况扣1分）
（2）显然g（x）=|x3-3xt|（x∈[0，1]）是偶函数，
所以只要求出g（x）=|x3-3xt|（x∈[0，1]）的最大值即可．又f'（x）=3（x2-t）
①t≤0时，则在[0，1]上f（x）为增函数，∴f（x）≥f（0）=0∴f（x）=g（x），故F（t）=f（1）=1-3t…（6分）
②t＞0时，则在[0，1]上f'（x）=3（x+）
（i）≥1即t≥1时，则在[0，1]上f（x）为减函数∴f（x）≤f（0）=0，
故F（t）=-f（1）=3t-1…（8分）
（ii）0＜t＜1时，则在[0，1]上f'（x）=3（x+）

x （0，） （，1） 1
f'（x） - +
f（x） ↓ 极小值-2t ↑ 1-3t

所以可以画出g（x）的草图如下，并且由图可知：

（1）当
（2）当1＞2时，g（x）的最大值F（t）=f（1）=1-3t…（10分）
综上所述：F（t）=…（12分）
（3）显然F（t）在（-∞，）上为减函数，∴F（t）的最小值=F（．