Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四边形，且AA₁⊥底面ABCD，AB=2，AA₁=BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，点F为B₁C₁中点．
（I）求证：平面A₁ED⊥平面A₁AEF；
（II）求三棱锥E-A₁FD的体积．

Answer

（I）由已知中AB=2，BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，我们易得到∠AEB=60°，∠CED=30°，进而得到AE⊥ED，又由AA1⊥底面ABCD，得AA1⊥ED，结合线面垂直的判定定理
得到ED⊥平面AA1EF，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面A1ED⊥平面A1AEF；
（II）将三棱锥E-A1FD的体积转化为三棱锥D-A1FE的体积，求出棱锥的高及底面面积，代入棱锥体积公式，即可得到答案．
【解析】
（I）证明：∵AB=2，BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，
∴△ABC为等边三角形，∠AEB=60°
△CDE中，∠CED=30°
∴AE⊥ED
∵AA1⊥底面ABCD，
∴AA1⊥ED，
又由AE∩AA1=A
∴ED⊥平面AA1EF
又∵ED⊂平面A1ED
∴平面A1ED⊥平面A1AEF；
（II）三棱锥E-A1FD的体积与三棱锥D-A1FE的体积相等
其中DE为棱锥的高，
又∵DE=AD•sin30°=2
∴V==