Question

函数f（x）=x³+ax²+bx的图象与x轴相切于点（-3，0），且函数存在极值．
（I）求函数f（x）的解析式及单调区间；
（II）过函数y=f（x）图象上一点P₁（x₁，y₁）（P₁不是y=f（x）图象的对称中心）作曲线的切线，切于不同于P₁（x₁，y₁）的另一点P₂（x₂，y₂），再过P₂（x₂，y₂）作曲线的切线切于不同于P₂（x₂，y₂）的另一点P₃（x₃，y₃），…，过P_n（x_n，y_n）作曲线的切线切于不同于P_n（x_n，y_n）的另一点P_n+1（x_n+1，y_n+1），求x_n与x_n+1的关系．

Answer

（I）对函数求导可得 f′（x）=3x2+2ax+b，由题意可得f（-3）=0，f′（-3）=0，代入可求a，b的值，然后根据导数的符号判断函数的单调区间及极值
（II）可先设切点为（xn+1，yn+1），根据导数的几何意义可得切线方程为y-yn+1=f′（xn+1）（x-xn+1）=（3xn+12+12xn+1+9）（x-xn+1），又切线过点（xn，yn），所以代入切线方程整理求
【解析】
（I）f′（x）=3x2+2ax+b
由题意可得f（-3）=0，f′（-3）=0
∴∴a=6，b=9

所以f（x）在（-∞，-3），（0，+∞）单调增区间
y极大值=0y极小值=-4
（II）设切点为（xn+1，yn+1）
∴切线方程为y-yn+1=f′（xn+1）（x-xn+1）=（3xn+12+12xn+1+9）（x-xn+1）
又切线过点（xn，yn），所以代入切线方程整理可得：（xn+2xn+1）（x-xn+1）+6（xn-xn+1）=0
∵xn≠nn+1∴xn+2xn+1+6=0