Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，SD=a．
（Ⅰ）求证：平面SAB⊥平面SAD；
（Ⅱ）设SB的中点为M，且DM⊥MC，试求出四棱锥S-ABCD的体积．

Answer

（I）由已知中，∠A=∠D=90°SD⊥平面ABCD，我们易得AB⊥AD，SD⊥AB，由线面垂直的判定定理，可得AB⊥平面SAD，再由面面垂直的判定定理，可得平面SAB⊥平面SAD；
（II）连接BD，∵∠A=∠D=90°，AB=AD=a，SD=a，我们可得△DBA为等腰直角三角形，结合SB的中点为M，且DM⊥MC，我们易得四棱锥S-ABCD的高为SD，分别求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥的体积公式，即可得到答案．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵∠A=90°，∴AB⊥AD
又SD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴SD⊥AB
∴AB⊥平面SAD．
又AB⊂平面SAB，
∴平面SAB⊥平面SAD．
（Ⅱ）连接BD，∵∠A=∠D=90°，AB=AD=a，
∴BD=a=SD
∴∠DBA=45°
又M为SB中点，
∴DM⊥SB
由条件DM⊥MC，MC∩SB=M，∴DM⊥面SBC，又BC⊂面SBC，
则DM⊥BC，由（1）可知SD⊥BC，SD∩DM=D，∴BC⊥面SDB，则BC⊥BD，
由平面几何知识，则△BDC是等腰直角三角形，
则，
故