Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB的中点
（1）求直线B₁C与DE所成角的余弦值；
（2）求证：平面EB₁D⊥平面B₁CD；
（3）求二面角E-B₁C-D的余弦值．

Answer

（1）连接A1D，则由A1D∥B1C⇒B1C与DE所成角即为A1D与DE所成角．在△A1ED中用余弦定理求解；
（2）取B1C的中点F，B1D的中点G，连接BF，EG，GF．由CD⊥平面BCC1B1⇒DC⊥BF⇒BF⊥平面B1CD，再由BF∥GE⇒GE⊥平面B1CD．⇒平面EB1D⊥B1CD；
（3）连接EF．CD⊥B1C，GF∥CD⇒GF⊥B1C⇒EF⊥B1C⇒∠EFG是二面角E-B1C-D的平面角，再在△EFG中求解．
【解析】
（1）连接A1D，则由A1D∥B1C知，B1C与DE所成角即为A1D与DE所成角．连接A1E，由正方体ABCD-A1B1C1D1，可设其棱长为a，则

∴
∴直线B1C与DE所成角的余弦值是．（4分）

（2）取B1C的中点F，B1D的中点G，连接BF，EG，GF．
∵CD⊥平面BCC1B1，且BF⊂平面BCC1B1，
∴DC⊥BF．
又∵BF⊥B1C，CD∩B1C=C，
∴BF⊥平面B1CD
又∵GFCD，BECD，
∴GFBE，
∴四边形BFGE是平行四边形，
∴BF∥GE，
∴GE⊥平面B1CD．
∵CE⊂平面EB1D，
∴平面EB1D⊥B1CD．（8分）

（3）连接EF．
∵CD⊥B1C，GF∥CD，
∴GF⊥B1C．
又∵GE⊥平面B1CD，
∴EF⊥B1C，
∴∠EFG是二面角E-B1C-D的平面角．
设正方体的棱长为a，则在△EFG中，GF=a，EF=a，
∴
∴二面角E-B1C-D的余弦值为．（12分）