Question

已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：函数f（x）在R上是增函数；
（2）若关于x的不等式f（x²-ax+5a）＜2的解集为{x|-3＜x＜2}，求f（2009）的值；
（3）在（2）的条件下，设a_n=|f（n）-14|（n∈N^*），若数列{a_n}从第k项开始的连续20项之和等于102，求k的值．

Answer

（1）欲证明函数f（x）在R上是增函数，设x1＞x2证明f（x1＞f（x2），即可．
（2）先将不等式f（x2-ax+5a）＜2转化为，利用函数的单调性脱掉“f”，转化成整式不等式，再结合方程根的定义求解出a，b，最后利用等差数列求出f（2009）的值即可；
（3）设从第k项开始的连续20项之和为Tk，则Tk=ak+ak+1++ak+19．下面对k进行分类讨论，列出关于k的方程，解之即得k值．
（1）证明：设x1＞x2，则x1-x2＞0，从而f（x1-x2）＞1，即f（x1-x2）-1＞0．（2分）
f（x1）=f[x2+（x1-x2）]=f（x2）+f（x1-x2）-1＞f（x2），
故f（x）在R上是增函数．（4分）
（2）设2=f（b），于是不等式为．
则，即．（6分）
∵不等式f（x2-ax+5a）＜2的解集为{x|-3＜x＜2}，
∴方程x2-ax+5a-b=0的两根为-3和2，
于是，解得
∴f（1）=2．（8分）
在已知等式中令x=n，y=1，得f（n+1）-f（n）=1．
所以{f（n）}是首项为2，公差为1的等差数列．
f（n）=2+（n-1）×1=n+1，故f（2009）=2010．（10分）
（3）ak=|f（k）-14|=|（k+1）-14|=|k-13|．
设从第k项开始的连续20项之和为Tk，则Tk=ak+ak+1+…+ak+19．
当k≥13时，ak=|k-13|=k-13，Tk≥T13=0+1+2+3+…+19=190＞102．（11分）
当k＜13时，ak=|k-13|=13-k．
Tk=（13-k）+（12一k）+…+1+0+1+…+（k+6）=k2一7k+112．
令k2-7k+112=102，解得k=2或k=5．（14分）
（注：当k≥13时，ak=|k一13|=k一13，令，无正整数解．得11分）