Question

阅读下面所给材料：已知数列{a_n}，a₁=2，a_n=3a_n-1+2，求数列的通项a_n．
【解析】
令a_n=a_n-1=x，则有x=3x+2，所以x=-1，故原递推式a_n=3a_n-1+2可转化为：
a_n+1=3（a_n-1+1），因此数列{a_n+1}是首项为a₁+1，公比为3的等比数列．
根据上述材料所给出提示，解答下列问题：
已知数列{a_n}，a₁=1，a_n=3a_n-1+4，
（1）求数列的通项a_n；并用解析几何中的有关思想方法来解释其原理；
（2）若记S_n=，求S_n；
（3）若数列{b_n}满足：b₁=10，b_n+1=100b_n³，利用所学过的知识，把问题转化为可以用阅读材料的提示，求出解数列{b_n}的通项公式b_n．

Answer

（1）根据已知材料可令an=an-1=x，则有x=3x+4，可得x=-2，故原递推式an=3an-1+4可转化为：
an+2=3（an-1+2），因此数列{an+2}是等比数列可求an，对于an=3an-1+4，可以看成把直线y=3x+4的方程改写成点斜式方程．
（2）令dk==（）2（-）．利用裂项求和可得Sn==（）2[]，然后求极限．
（3）数列{bn}满足：b1=10，bn+i=100bn3，所以bn＞0，lgbn+i=lg（100bn3）
令cn=lgbn，则cn+1=3cn+2，从而可求cn，进一步可求bn
【解析】
（1）令an=an-1=x，则有x=3x+4，所以x=-2，故原递推式an=3an-1+4可转化为：
an+2=3（an-1+2），因此数列{an+2}是首项为a1+2，公比为3的等比数列．
所以an+2=（a1+2）×3n-1，所以an=3n-2；
对于an=3an-1+4，可以看成把直线y=3x+4的方程改写成点斜式方程，
该点就是它与直线y=x的交点．
（2）令dk==
=（）2=（）2（-）
Sn==d1+d2+…+dn
=（）2[（）+（）+（）++（）]
=（）2[]
Sn=（）2
（3）数列{bn}满足：b1=10，bn+i=100bn3，所以bn＞0，lgbn+i=lg（100bn3）
令cn=lgbn，则cn+1=3cn+2，
所以cn+2=3（cn-1+2），因此数列{cn+2}是首项为c1+2，公比为3的等比数列．
所以cn+2=（c1+2）×3n-1，所以cn=3n-2，
lgbn=cn=3n-2；bn=