Question

已知函数（t是常实数）．
（1）若函数的定义为R，求y=f（x）的值域；
（2）若存在实数t使得y=f（x）是奇函数，证明y=f（x）的图象在g（x）=2^x+1-1图象的下方．

Answer

（1）先把定义为R转化为2x+t≠0恒成立，求出t的取值范围，再对t分情况讨论求出对应y=f（x）的值域；
（2）由y=f（x）是奇函数得t=1，再把两个函数作差，整理后利用基本不等式求出差的最值即可证明结论．
【解析】
（1）因为2x+t≠0恒成立，所以t≥0，（2分）
当t=0时，y=f（x）的值域为（-∞，1）；（4分）
当t＞0时，由得，，
因而
即y=f（x）的值域为．（6分）
（2）由y=f（x）是奇函数得t=1，所以（8分）
，（11分）
当“=”成立时，必有，即2x=0，此式显然不成立．（13分）
所以对任意实数x都有f（x）＜g（x）
即y=f（x）的图象在g（x）=2x+1-1图象的下方．（14分）