Question

已知数列{a_n}是首项，公比的等比数列，设b_n+15log₃a_n=t，常数t∈N^*，数列{c_n}满足c_n=a_nb_n．
（1）求证：{b_n}是等差数列；
（2）若{c_n}是递减数列，求t的最小值；
（3）是否存在正整数k，使c_k，c_k+1，c_k+2重新排列后成等比数列？若存在，求k，t的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由题意知，，再由，得b1=-15log3a1+t=t+5，由此能够证明{bn}是等差数列．
（2）由bn=5n+t，知，恒成立，再由是递减函数，知当n=1时取最大值，，由此能求出t的最小值．
（3）记5k+t=x，，，，再分情况讨论进行求解．
【解析】
（1）由题意知，，（1分）
因为，b1=-15log3a1+t=t+5
∴数列bn是首项为b1=t+5，公差d=5的等差数列．（4分）
（2）由（1）知，bn=5n+t，，恒成立，即恒成立，（7分）
因为是递减函数，
所以，当n=1时取最大值，，（9分）
因而t＞6.3，因为t∈N，所以t=7．（10分）
（3）记5k+t=x，，，．
①若ck是等比中项，则由ck+1•ck+2=ck2得化简得2x2-15x-50=0，解得x=10或（舍），（11分）
所以5n+t=10，因而及．
又由常数t∈N*，则舍去，
②若ck+1是等比中项，则由ck•ck+2=ck+12得
化简得x（x+10）=（x+5）2，显然不成立．（16分）
③若ck+2是等比中项，则由ck•ck+1=ck+22得
化简得2x2-5x-100=0，因为△=52+4×2×100=25×33不是完全不方数，因而x的值是无理数，显然不成立．
则符合条件的k、t的值为．（18分）