Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．
（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；
（2）在（1）的条件下，求异面直线AE与CD所成角的余弦值；
（3）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值．

Answer

解法一：
（1）欲证直线与直线垂直，可用先证直线与平面垂直．∵BA⊥AD，BA⊥PA，∴BA⊥平面PAD．∴PD⊥BA．又∵PD⊥AE，∴PD⊥平面BAE，∴PD⊥BE．
（2）求异面直线所成的角，可以做适当的平移，把异面直线转化为相交直线，然后在相关的三角形中借助正弦或余弦定理解出所求的角．平移时主要是根据中位线和中点条件，或者是特殊的四边形，三角形等．过点E作EM∥CD交PC于M，连接AM，则AE与ME所成角即为AE与CD所成角．
（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．延长AB与DC相交于G点，连PG，则面PAB与面PCD的交线为PG，易知CB⊥平面PAB，过B作BF⊥PG于F点，连CF，则CF⊥PG，∴∠CFB为二面角C-PG-A的平面角
解法二：
在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中，也可以建立空间直角坐标系，设定参量求解．这种解法的好处就是：1、解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．2、即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．则A（0，0，0），B（a，0，0），，C（a，a，0），D（0，2a，0），
（1），∴BE⊥PD
（2）由（1）知，=（-a，a，0）设所成角为θ则cosθ=
（3）利用平面PAB与平面PCD的法向量所成的角，去求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值．
解法一：（1）∵∠BAD=90°，∴BA⊥AD
∵PA⊥底面ABCD，BA⊥PA．又∵PA∩AD=A，BA⊥PA．又∵PA∩AD=A，
∴BA⊥平面PAD．
∵PD⊂平面PAD．
∴PD⊥BA．又∵PD⊥AE，且BA∩AE=A，
∴PD⊥平面BAE
∴PD⊥BE，即BE⊥PD．（4分）
（2）过点E作EM∥CD交PC于M，连接AM，则AE与ME所成角即为AE与CD所成角

∵PA⊥底面ABCD，且PD与底面ABCD成30°角．
∴∠PDA=30°．
∴在Rt△PAD中，∠PAD=90°，∠PDA=30°，AD=2a
∴PA=a．
∴AE==a．
∵PE=a．
∴ME=a．
连接AC
∵在△ACD中AD=2a，AC=a，
AD2=AC2+CD2
∴∠ACD=90°，∴CD⊥AC，∴ME⊥AC
又∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD，∴ME⊥PA．
∴ME⊥平面PAC．∵MA⊂平面PAC，
∵ME⊥AM．
∴在Rt△AME中，cos∠MEA=．

∴异面直线AE与CD所成角的余弦值为
（9分）
（3）延长AB与DC相交于G点，连PG，则面PAB
与面PCD的交线为PG，易知CB⊥平面PAB，过B作BF⊥PG于F点，连CF，则CF⊥PG，
∴∠CFB为二面角C-PG-A的平面角，
∵CB∥AD，
∴GB=AB=a，∠PDA=30°，PA=a，AG=2a．
∴∠PGA=30°，
∴BF==2，
∴平面PAB与平面PCD所成的二面角的正切值为2．（14分）
解法二：（1）如图建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），B（a，0，0），，C（a，a，0），
D（0，2a，0），
∴，
∴，
∴BE⊥PD（4分）

（2）由（1）知，=（-a，a，0）设所成角为θ
则cosθ=，
∴异面直线AE与CD所成角的余统值为．（9分）

（3）易知，CB⊥AB，CB⊥PA，
则CB⊥平面PAB．，∴是平面PAB的法向量．∴=（0，a，0）．
又设平面PCD的一个法向量为，
则．而=（-a，a，0），
∴由=0．
得
∴
令y=1，，∴
设向量所成角为θ，
则cosθ=．
∴tanθ=2．
∴平面PAB与平面PCD所成锐二面角的正切值为2．（14分）