Question

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx．
（I）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（II）若函数的最小值；
（III）若0＜n＜m，求证：．

Answer

（I）代入a的值，写出函数的解析式，对函数求导，使得导函数大于0，求出自变量的值，写出单调区间．
（II）根据函数无零点，得到函数的导函数小于0在一个区间上不恒成立，得到函数在这个区间上没有零点，构造新函数，对函数求导，利用求最值得方法求出函数的最小值．
（III）要证明不等式成立，由第（I）问可知f（x）=（x-1）-2lnx在（0，1]上单调递减，得到两个自变量的函数值之间的关系，整理出结果．
【解析】
（I）当a=1时，f（x）=x-1-2lnx，，（1分）
由f'（x）＞0，得x＞2；
由f'（x）＜0，得0＜x＜2．（3分）
故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）（4分）
（II）因为上恒成立不可能，
故要使函数上无零点，
只要对任意的恒成立，
即对恒成立．（6分）
令，
则，（7分）
，
综上，若函数，则a的最小值为2-4ln2．（9分）
（III）证明：由第（I）问可知f（x）=（x-1）-2lnx在（0，1]上单调递减．
∵，∴（12分）
∴∴，
即（14分）