Question

过曲线C：y=x³上的点P₁（x₁，y₁）作曲线C的切线l₁与曲线C交于点P₂（x₂，y₂），过点P₂作曲线C的切线l₂与曲线C交于点，依此类推，可得到点列：P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），…，已知x₁=1．
（1）求点P₂、P₃的坐标；
（2）求数列{x_n}的通项公式；
（3）记点P_n到直线l_n+1（即直线P_n+1P_n+2）的距离为d_n，求证：．

Answer

（1）由题意因为x1=1，且已知过曲线C：y=x3上的点P1（x1，y1），把点的坐标代入得P1（1，1），再有题意可以得到P2，P3；
（2）由题意及导数的几何含义及题中P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），…，的产生可以得到数列{xn}的通项公式；
（3）有（2）知道点Pn的坐标，利用电到直线的距离公式得到点Pn到直线ln+1（即直线Pn+1Pn+2）的距离为dn，在有得到式子放缩一下即可．
【解析】
（1）因为x1=1，且已知过曲线C：y=x3上的点P1（x1，y1），所以得P1（1，1），再有题意可以得P2（-2，-8），P3（4，64）．
（2）曲线C上点Pn（xn，yn）处的切线ln的斜率为，
故得到切线的方程为y-yn=3xn2•（x-xn），
联立方程消去y，yn得：x3-3xn2•x+2xn3=0
化简得：（x-xn）2•（x+2xn）=0所以：x=xn或x=-2xn，
由x=xn得到点Pn的坐标（xn，yn），由x=-2xn就得到点Pn+1的坐标（-2xn，（-2xn）3）所以：xn+1=-2xn故数列{xn}为首项为1，公比为-2的等比数列所以：xn=（-2）n-1
（3）由（2）知：Pn+1（（-2）n，（-8）n），Pn+2（（-2）n+1，（-8）n+1），
所以直线ln的方程为：
化简得：3•4nx-y-2•（-8）n=0，
所以
∴≥