Question

已知数列{f（n）}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n．
（1）求数列{f（n）}通项公式；
（2）若a₁=f（1），a_n+1=f（a_n）（n∈N*），求证数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）由Sn=n2+2n知，数列{f（n）}是一个等差数列，由公式Sn=（a1-）×n+n2知公差为2，首项为3，
（2）中的题由将（1）的结论代入可知，a1=3，an+1=f（an）=2an+1，此数列可构造为an+1+1=2（an+1）可得出其为首项是4，公比为2的等比数列
【解析】
（1）∵Sn=n2+2n，∴数列{f（n）}是一个等差数列，
由等差数列前n项和公式Sn=（a1-）×n+n2知公差为2，首项为3
∴f（n）=2n+1；
（2）由题意a1=f（1）=3，an+1=f（an）=2an+1（n∈N*），
∵an+1+1=2（an+1）（n∈N*），
∴数列{an+1}是以a1+1=4为首项，以2为公比的等比数列．
∴an+1=4×2n-1=2n+1，即an=2n+1-1
∴数列{an}的前n项和Tn=-n=2n+2-n-4