Question

已知点P（4，4），圆C：（x-m）²+y²=5（m＜3）与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线PF₁与圆C相切．
（1）求m的值与椭圆E的方程；
（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．

Answer

（1）先利用点A在圆上求出m，再利用直线PF1与圆C相切求出直线PF1与的方程以及c，再利用点A在椭圆上求出2a，即可求出椭圆E的方程；
（2）先把用点Q的坐标表示出来，再利用Q为椭圆E上的一个动点以及基本不等式即可求出的取值范围．
【解析】
（1）点A代入圆C方程，得（3-m）2+1=5．
∵m＜3，
∴m=1．
设直线PF1的斜率为k，
则PF1：y=k（x-4）+4，即kx-y-4k+4=0．
∵直线PF1与圆C相切，圆C：（x-1）2+y2=5，
∴，
解得．
当k=时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．
当k=时，直线PF1与x轴的交点横坐标为-4，
∴c=4．
∴F1（-4，0），F2（4，0）．
故2a=AF1+AF2=，，a2=18，b2=2．
椭圆E的方程为：．
（2），设Q（x，y），
，．
∵，即x2+（3y）2=18，而x2+（3y）2≥2|x|•|3y|，
∴-18≤6xy≤18．
则（x+3y）2=x2+（3y）2+6xy=18+6xy的取值范围是[0，36]．
∴x+3y的取值范围是[-6，6]
∴x+3y-6的范围只：[-12，0]．
即的取值范围是[-12，0]．